如果私人付款进入我公司公户，退款时可以退到他指定的另一个账户吗(不退回原账户)

不是。不是必须退回原账户，但企业因为业务取消等原因需要退款，之前所取得公对公、公对私的款项一般是按原账户退回，这样双方都更容易判断和入账。但是本身没有规定必须退回原账户，只要双方协议，可以退现金，或者退入对方的其他账户。
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你好，是否可以退款看合同约定，建议协商解决，如果协商不成可以向法院起诉。
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消费者在遇到退款问题时，可以选择和商家进行协商处理，协商不成，可以报消费者协会调解处理，调解不成的，可以向相关人民法院提起诉讼处理。